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La Conoscenza è come una linea, dove sono i confini non ci è dato di saperlo.

Sublimina.it è un viaggio personale nel mondo del pensiero umano. Per raggiungere ogni meta c'è una via ed ogni via ha un ingresso. Questa è la mia porta personale, l'ho appena aperta. Ognuno ha la sua porta, qualche volta si ha bisogno, però, di intravedere cosa c'è al di là della porta altrui per mirare l'altrove che sta dietro la propria.  Ispirato da: Franz Kafka, Il processo (1925)


Sull'implicazione logica (formale vs materiale)

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Via via che la logica si perfeziona, diminuisce il numero delle cose che si possono dimostrare.

Bertrand Russell, in Alan Wood, Bertrand Russell, lo scettico appassionato, 1957

Oggi ci concentriamo sul concetto noto ai logici come "implicazione", questo viaggio sarà compiuto attraverso la potente navicella, frutto degli studi di B. Russell, datata 1903, intitolata “I principi della matematica”.

Bertrand Russel

Esistono due tipologie di implicazione, talvolta ambedue indicate con una freccia. I più accorti però sono attenti a questa importante distinzione e utilizzano simboli differenti per ogni una di esse.

La prima è l’implicazione materiale indicata solitamente con: “ ”, la seconda è l’implicazione logica indicata con: “⇒”.

Russel sostiene che l’implicazione materiale si ha quando i termini che la costituiscono, ad esempio p e q in “p q” sono proposizioni. Questo vale se i suddetti termini sono proposizioni o vere o false “una volta per tutte”, cioè non contengono al loro interno ciò che Peano ha chiamato variabili reali. Le variabili reali a differenza di quelle apparenti, sempre secondo il Peano, si hanno quando queste non sono vincolate e sono veramente libere di variare, mentre quelle apparenti anche se compaiono in un termine non sono vere variabili, non essendo libere di variare. Un esempio può essere una proposizione contenete una variabile vincolata da un connettivo esistenziale come per ogni o esiste.

Russell nella sua opera ci dona una feconda analogia per comprendere definitivamente questa semplice distinzione. Egli ci invita a pensare ad un integrale definito, che, seppur contenendo come integranda una funzione della variabile, il risultato non viene a dipendere da quest’ultima. Ecco che asserisce allora che “x è un uomo” non è un a proposizione in quanto quest’ultima deve essere definitivamente o vera o falsa. Presa così com’è la frase non è né vera né falsa, dipendendo questi valori di verità dalla variabile x, libera di assumere qualsivoglia valore. Si è soliti definire una frase che contiene variabili libere (almeno una) comeuna funzione proposizionale.

Se però diamo alla x un valore costante qualsiasi allora la frase diventa una proposizione, nel caso contrario la sua utilità risiede solo nella forma schematica che rappresenta e non di più. Un esempio di valore costante da sostituire alla x è, ad esempio, Socrate e cioè: “Socrate è un uomo” che adesso diventa una proposizione ragionevolmente vera.

Russel allora ci fa ragionare sulla giustapposizione del connettivo esistenziale per ogni in una implicazione che contiene la nostra funzione proposizionale: “x è un uomo”. Dicendo “x è un uomo implica che x è mortale per tutti i valori di x (per ogni x) non si afferma una singola implicazione ma una classe di implicazioni tutte definite su variabili apparenti in quanto la x è assorbita dal connettivo per ogni. Nella sua opera (pagina 33) Russel ci fornisce un importante indizio che aiuta nella distinzione tra implicazione formale e materiale: la prima vale tra funzioni proposizionali quando una implica l’altra per tutti i valori della variabile. Su questo punto ci si tornerà quando si introdurrà l’isomorfismo tra l’implicazione e alcune operazioni della teoria degli insiemi.

Il problema è molto insidioso poiché talvolta le due implicazioni vengono confuse generando degli errori. Un possibile equivoco si basa sulla differente interpretazione che si può dare al termine Socrate in “Socrate è un uomo”. Di fatto comunemente si utilizza il termine Socrate come variabile per indicare qualsiasi uomo come Socrate. In realtà la vera accezione è che Socrate sia Socrate, cioè un termine costante. Dire “Socrate è un uomo, quindi Socrate è mortale” con l’uso normale che se ne fa nella lingua del quindi significa asserire la verità dell’ipotesi e la verità della conseguenza. Al contrario se al posto di quindi si utilizza implica e cioè: “Socrate è un uomo, implica Socrate è mortale” sembra che questa restrizione non debba esserci. Allora, in questo caso, se consideriamo Socrate come variabile, si può sostituire ad esso non solo qualsiasi uomo, ma qualsiasi altro ente. In definitiva si hanno due possibilità che generano l’equivoco: se si utilizza il termine Socrate come variabile per indicare qualsiasi uomo come Socrate ci troviamo innanzi ad una implicazione formale. Quindi la nostra: “Socrate è un uomo, implica Socrate è mortale” è di fatto una implicazione materiale che però viene trattata come formale.

Riassumendo, si ha che:

  • nell’implicazione materiale i costituenti p e q sono proposizioni;
  • p e q sono proposizioni se non contengono variabili reali (secondo la definizione di Peano)
  • se in un temine compare una variabile reale esso rappresenta una funzione proposizionale
  • una funzione proposizionale non è né vera né falsa, il valore di verità dipende dalla variabile
  • una implicazione formale è una funzione proposizionale dove il primo termine implica l’altro (entrambe dipendenti da variabili) e la variabile è vincolata (per ogni x)

Quindi “Socrate è un uomo, implica Socrate è mortale” è una implicazione formale che richiede per essere vera la verità di entrambe le proposizioni.

L’implicazione materiale al contrario non mette in relazione due termini che hanno connessioni causali cosicché “2 è dispari Roma è la capitale d’ Italia” risulta essere vera.

L’implicazione materiale è considerata un connettivo vero-funzionale in quanto il suo valore di verità è completamente funzione dei termini che lo compongono.

A questo punto è possibile fornirne una tavola di verità.


p

q

T

T

T

T

F

F

F

T

T

F

F

T

Tavola di verità dell’implicazione materiale

Secondo Russell considerando l’implicazione materiale:

  • le proposizioni false implicano tutte le proposizioni;
  • le proposizioni vere sono implicate da tutte le proposizioni;
  • tra due proposizioni qualsiasi ce ne sarà sempre una che implica l’altra;

Considerando la tavola di verità, se p implica q si nota che:

  • sono entrambe false o entrambe vere;
  • o p è falsa e q è vera;
  • non è possibile avere q falsa e p vera;
  • è necessario avere q vera o p falsa;

Detto ciò, per comprendere appieno le differenze tra i due tipi di implicazione è comprenderne quindi il profondo significato evitando equivoci e conseguenti errori, bisogna introdurre una sorta di corrispondenza tra la logica elementare e la teoria degli insiemi cioè tra i connettivi logici e gli operatori booleani che agiscono su insiemi di elementi.

La corrispondenza si attua dati due insiemi A e B e date due proposizioni p e q come segue:

  • p : “x appartiene ad A”;
  • q ; “x appartiene a B”;

Si premette che, come per i connettivi logici vero-funzionali è possibile stabilire tavole di verità univoche, si può pensare a tavole di appartenenza per gli operatori booleani sugli insiemi.

Quindi dalle nostre due definizioni possiamo derivare:

  1. la proposizione “x appartiene ad A∩B” è vera quando p è vera e q è vera;
  2. la proposizione “x appartiene ad A∪B” è vera quando p è vera o q è vera;
  3. la proposizione “x appartiene ad Ac” quando non è vera p;

Per essere precisi la completa corrispondenza si ha introducendo i nomi individuali al posto dei connettivi logici e, o, non. Questi sono scritti con ∧,∨ ,¬, rispettivamente.

Secondo tale corrispondenza si può far risalire la distinzione tra i due tipi di implicazione a quella tra due particolari operazioni tra insiemi e cioè: Ac∪B e "A incluso propriamente in B" che indica che A∩Bc = ∅ ;

Il primo caso è indicato nella seguente figura:


schema ottenuto con la teoria degli insiemi dell'implicazione materiale

1) La zona in rosso è l’insieme Ac∪B

Il secondo caso è invece:


schema ottenuto con la teoria degli insiemi dell'implicazione formale

2) La zona nera è  l’insieme vuoto A∩Bc = ∅


Il secondo caso, la figura appena sopra (1), indica il concetto di inclusione (impropria) e quindi che non esistono punti (chiamiamoli x) che appartengono ad A ma non B. Questo caso è equivalente all’implicazione formale che è vera se entrambe i termini sono veri: se x appartiene ad A e x appartiene a B. Se così non fosse vi sarebbero delle x che non apparterrebbero a B ma apparterrebbero ad A e questo è il caso in cui non si ha inclusione di A in B.

L’implicazione materiale è invece esemplificata dalla figura (2) in quanto si da il caso che vi è un x che non appartiene a B ma appartiene ad A e questo è ciò che falsifica l’implicazione materiale stessa. Di fatto la corrispondenza, per quanto riguarda l’implicazione materiale si ha tra: Ac∪B  e  ¬ p v q.  “¬ p” è quella proposizione che può essere definita come “x non appartiene ad A” mentre q è come sappiamo è “x appartiene a B”. Quindi l’implicazione è vera nella zona rossa, mentre è falsa in quella bianca della figura.

Per l’implicazione formale conosciuta anche come implicazione logica, valida per i ragionamenti deduttivi in cui si da il caso che da ipotesi vere non possono conseguire tesi false, la parte bianca non esiste affatto quindi non si da mai il caso di A senza B. Invece per l’implicazione materiale, quella per altro importante, secondo Russell, per i fondamenti della matematica, semplicemente tale caso porta alla falsificazione dell’implicazione, che per altro è l’unico caso in cui questo accade essendo negli altri sempre vera come si può constatare dalla tavola di verità.

In definitiva l’implicazione logica o formale è il caso in cui l’implicazione materiale è sempre vera.

Ritornando alla questione posta da Russell sulla presenza di un per ogni che vincola una variabile in una funzione proposizionale si può dimostrare che:

A B

  • ⇔ (x ∈ A  ⇒  x ∈ B)  (implicazione formale)
  • ⇔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B)
  • ⇔ ∀x (x ∋ A  ∨  x ∈ B)
  • ⇔ ¬∃x ( x ∈ A ∧ x ∋ B)
  • ⇔ ¬∃x ( x ∈ A∩Bc)
  • ⇔ (A∩Bc = ∅).

Le righe precedenti sono da considerarsi equivalenti essendo introdotte da una doppia implicazione.

Le prime due indicano come è possibile esprimere l’implicazione formale tramite l’implicazione materiale e si nota per tanto che la presenza del simbolo ⇒ (implicazione formale) richiede che sia presente il connettivo ∀ che sappiamo indicare “per ogni”.



Note Bibliografiche

B. Russel, I princìpi della matematica, Newton Compton Editori, Roma, 2008, Capit. I,II

F. Bellissima, Fondamenti di Matematica, Carocci, Roma, 2008, pag. 45

Commenti  

 
0 #3 diigo.com 2017-08-23 02:32
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+1 #2 sbrogliato 2012-09-24 23:25
(dell'inizio :P )
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+1 #1 sbrogliato 2012-09-24 23:24
grazie! splendida semplificazione del libro!! :)
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