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La Conoscenza è come una linea, dove sono i confini non ci è dato di saperlo.

Sublimina.it è un viaggio personale nel mondo del pensiero umano. Per raggiungere ogni meta c'è una via ed ogni via ha un ingresso. Questa è la mia porta personale, l'ho appena aperta. Ognuno ha la sua porta, qualche volta si ha bisogno, però, di intravedere cosa c'è al di là della porta altrui per mirare l'altrove che sta dietro la propria.  Ispirato da: Franz Kafka, Il processo (1925)


I paradossi e l'autoreferenzialità

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Non deve sorprenedere che il nostro linguaggio sia incapace di descrivere i processi che hanno luogo all'interno degli atomi, perché è stato inventato per descrivere le esperienze della vita d'ogni giorno le quali consistono soltanto di processi che coinvolgono un numero estremamente grande di atomi.

Werner Heisemberg, I principi fisici della teoria dei quanti

paradosso triangolo di penrose Secondo il filosofo Mark Sainsbury (1943)  un paradosso è "una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili, per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile" (paradoxes, p1). Sono comunque molte le definizioni di paradosso e molti i filosofi e pensatori in genere che si sono cimentati nello stabilire un possibile modello a cui ricondurli. In ogni caso etimologicamente il termine paradosso deriva dal greco paradoxa e significa contro (para) l'opinione comune o la credenza (doxa).

Anche se alcuni logici puristi non accettano tutto ciò che la consuetudine indica come paradosso, ne esistono moltissimi e possono essere ricondotti ad alcune categorie. Ad esempio il paradosso del Mentitore conosciuto anche come paradosso di Epimenide è un paradosso di tipo semantico, mentre quelli di Cantor e Russell sono di tipo insiemistico. Entrambe comunque producono una contraddizione in termini da cui non è possibile uscire, a meno che non si ricorra al pensiero laterale, metodologia che dovrebbe risolvere questo tipo di antinomie "uscendo dal sistema, e rientrandoci in un secondo momento". Nella nostra discussione non si farà uso di questi metodi intuitivi per altro non sempre accettati da coloro che si occupano di queste problematiche.

Ad esempio un classico paradosso, molto semplice da comprendere è proprio Il paradosso del Mentitore fatto risalire al filosofo Epimenide di Creta. Questo ci fa riflettere su fatto che tali problemi del pensiero affliggevano di già i nostri antichi antenati. Originariamente pare fosse formulato come:

 

Tutti i cretesi mentono sempre.

 

e tale frase è pronunciata proprio da un cretese, ad esempio Epimenide...

 

Affermare: "Sto mentendo" significa in parte produrre una asserzione falsa. Ciò avviene se vi è un uso autoreferenziale della frase ovvero se si riferisce a se stessa. In altre parole è sottintesa una componente indicale nella frase in questione.

Un chiaro esempio noto come "Il mentitore standard" è il seguente [1]:

 

(1)       (1) è falso.

 

L'interpretazione consiste nel numerare la proposizione e utilizzare tale etichetta per indicarla come oggetto del predicato. Ora si può ragionare per casi e notare che un enunciato del genere è problematico:

 

a)      Immaginiamo che sia vero: se cosi è tutto sommato le cose stanno come dice, allora è falso;

b)      immaginiamo ora che sia falso: è proprio ciò che dice di essere, allora è vero.

 

La problematicità sorge se si accetta il principio aristotelico di bivalenza e cioè che un enunciato o è vero o è falso. (1) è vero e falso assieme.

Una modifica, nota come "Il mentitore rinforzato" recita: " Questa asserzione non è vera" o seguendo lo schema precedente:

 

(2)       (2) non è vero.

 

Questa modifica sembra mettere a riposo qualsiasi soluzione ingenua del paradosso del mentitore. Di fatto uno dei maggiori logici del nostro tempo, Saul Kripke (1940), ha tentato di risolvere il mentitore standard (la (1)) rinunciando al principio di bivalenza e ammettendo che alcuni enunciati possano non essere  veri e né falsi. (1) è vero se falso, e falso se vero, ma la contraddizione è risolta ammettendo che questi due casi non si verificano. Il mentitore rinforzato ((2)) è problematico pur seguendo la ricetta di Kripke, rinunciando cioè al principio di bivalenza.

Nel mentitore standard col principio di bivalenza gli enunciati sono suddivisi in due gruppi, quelli veri e quelli falsi e questi rappresentano i casi per improntare il ragionamento. Non accettando il principio di bivalenza si aggiunge un terzo caso: enunciati né veri né falsi. Utilizziamo quindi i tre casi per studiare il comportamento del mentitore rinforzato:

 

a)      se (2) è vero tutto sommato se le cose sono come dice non è vero;

b)      se (2) è falso allora ci dice in fondo che è vero;

c)      se (2) non è vero né falso allora dice una cosa non vera, ma questo è proprio ciò che dice di essere, tutto sommato (2) è vero.

 

(2) sembra essere vera e non vera, quindi contraddizione.

In definitiva questa versione del paradosso nota anche come "mentitore della vendetta" vendica chiunque tenti di allontanare l'elemento paradossale in questa famiglia di enunciati.

 

Ciò che accomuna questa tipologia di paradossi, che con l'aiuto del Logico Kurt Godel (1906 - 1978) hanno generato insormontabili problemi anche nel cuore della matematica, è l'autoreferenzialità. Essa è ben riconoscibile nei paradossi di tipo insiemistico ed la sua "scoperta" è ricondotta a Bertrand Russell (1872 - 1970).

Una formulazione complementare al paradosso del Mentitore, quindi, è il cosiddetto paradosso di Russell , nel qual viene messa a nudo l'autoreferenzialità utilizzando il linguaggio della teoria degli insiemi. Di fatto l'autoreferenzialità compare in quegli insiemi che hanno essi stessi come sottoinsieme: l'insieme delle cose astratte è una cosa astratta mentre l'insieme delle forchette non è esso stesso una forchetta, allo stesso modo l'insieme degli insiemi è esso stesso un insieme. Il paradosso è formulato in modo apparentemente criptico nella seguente maniera:

L'insieme degli insiemi che non sono elementi di se stesso (chiamato R) è elemento di se stesso?

Un altro modo per aggirare la contraddizione derivante dall'autoreferenzialità in riferimento anche al paradosso del mentitore è quella più accettata dai logici che si basa sulla definizione di "verità" per i linguaggi formalizzati ad opera del logico Alfred Tarsky (1902 - 1983). Anche se Tarsky aveva pensato questi metodi per il linguaggi strettamente formalizzati, ritenendo i linguaggi naturali contraddittori, si è ritenuto necessario applicarli anche a quest'ultimi. In tal maniera si è pensata una gerarchia di livelli: al livello più basso non ci sono enunciati che contengono il predicato "vero", o termini correlati. Al livello 1 "vero" si può applicare ad enunciati di livello 0, ma non ad enunciati dello stesso livello 1. Ad ogni livello successivo vi è un solo predicato di verità, che si può solo applicare ad enunciati di livello più basso. Questa apparente complicazione permette di separare i vari livelli non permettendo l'autoreferenzialità (nel seguito si dirà di più in merito a ciò).

In ogni caso anche questo metodo può presentare dei problemi, uno è il fatto che non è ammissibile un enunciato del tipo: "ogni asserzione è vera o falsa", poiché si sta impropriamente definendo ciò che può essere detto attraverso una infinità di enunciati differenti, uno per ogni livello. Vi sono anche altre problematiche intorno questa soluzione, e modi per aggirarle, si rimanda alla vasta letteratura in materia.

Torniamo a Russell e domandiamoci se : l'insieme degli insiemi che non sono elementi di se stesso (chiamato R) è elemento di se stesso?

Come per il mentitore, se si analizza questa asserzione si giunge ad una contraddizione. Un tentativo per superare questo problema, simile alla soluzione di Tarsky, portò Bertrand Russell (1872 - 1970) alla formulazione della "Teoria dei Tipi", proprio perche tale paradosso essendo inerente alla teoria degli insiemi minacciava i fondamenti della matematica e del pensiero razionale.

Lo stesso Russell, che non apparteneva a quella categoria che riteneva che tali paradossi fossero giochi di parole, nei propri studi sulla teoria degli insiemi e sui problemi che nella cosiddetta "formulazione ingenua" sembravano irrisolvibili, aveva l'impressione che il concetto di insieme seppur primitivo era altamente "ideale". In altre parole non riusciva ad avere una corrispondenza con la realtà fisica. Egli iniziò a pensare che in realtà gli insiemi non sono entità nette, bensì sfumate e che l'appartenenza di un elemento ad un insieme possa non essere espressa con un "sì" o un "no", uno "0" o un "1" aristotelici, bensì con una specifica funzione che ne stabilisca il grado di appartenenza. In alte parole l'elemento "a " appartiene all'insieme A con un grado di verità del 30% e non appartiene all'insieme A con un grado di verità del 70%.

Molti Logici si sono cimentati nel pensare una teoria degli insiemi dove i confini tra quest'ultimi non sono definiti, bensì sfumati. Colui che ha portato alla ribalta una tale concezione con un vigore tale che il suo pensiero è ora applicato anche in ambito tecnologico è Lotfi Zadeth. Egli insieme ad altri battezzò un nuovo tipo di logica: la Logica Fuzzy. Questa logica ha la caratteristica di non accettare il principio di bivalenza ammettendo che un enunciato possa essere vero con un certo grado.

In un tale quadro, l'annoso problema filosofico del bicchiere mezzo pieno o mezzo vuoto è banalemente risolto ammettendo che il bicchiere è pieno con un grado di verità del 50% e allo stesso modo è vuoto con un grado di verità del 50%. In sintesi tra "vero" e "falso" che sono gli estremi aristotelici su cui si basa la logica classica esiste in realtà una gradazione continua. Questo fatto apre una serie sterminata di possibilità logiche, non ammissibili con due soli valori di verità.

Bart Kosko, allievo di Lotfi Zadeth, in un suo saggio "Il Fuzzy Pensiero" [2] esprime con vigore la validità della Logica Fuzzy, e propone una interpretazione del paradosso del mentitore all'interno di questa logica. La posizione fuzzy sta nel pensare i paradossi di autoriferimento come mezze verità o in altre parole come contraddizioni fuzzy. Immaginando un segmento ai cui estremi vi è "vero" = "1" o "falso" = "0" e tutta una serie di valori continui all'interno, i paradossi autoreferenziali hanno come grado di verità il punto medio di tale segmento. La polivalenza semplicemente contempla un tale caso poiché nel mondo fuzzy esistono anche mezze verità...

I paradossi autoreferenziali, hanno avuto, nella matematica del Novecento dello scorso secolo una grande importanza e si sono dimostrati non solo meri giochi di parole. Essi hanno aiutato la logica a comprendere il significato di "verità" in merito ai linguaggi naturali e formalizzati. Sullo sfondo del "problema dei fondamenti" suggerito dal Matematico David Hilbert (1842 - 1963) alla conferenza dal titolo "I Problemi della Matematica" presentata nel corso del Secondo Congresso Internazionale di Matematica tenutosi a Parigi nel 1900, i paradossi autoreferenziali hanno minato le basi della matematica stessa. Come accennato in precedenza il Logico Kurt Godel, trovò con un celebre articolo [3] una crepa all'interno della formalizzazione dell'aritmetica tramite la logica ad opera di Bertrand Russell e  Alfred North Whitehead (1861 - 1947). L'opera dei due logici a sostegno della solidità della matematica fin dalle sue fondamenta è nota come Principia Mathematica pubblicata nel 1913. Godel in maniera ineccepibile nonché strettamente formale non fa altro che notare l'insorgere di paradossi autoreferenziali, nei sistemi formali potenti come l'aritmetica. Egli dimostra che in un sistema sufficientemente potente vi possono essere degli enunciati la cui verità o falsità non è dimostrabile all'interno del sistema, ma serve un metasistema per poterlo fare. Tale metasistema è il sistema in questione più l'enunciatro incriminato preso nientedimeno che come assioma. Quanto detto è solo un assaggio della "sinfonia Godeliana" sul tema della matematica e dei sistemi formali, ma serve per focalizzare l'attenzione su un concetto su cui molti logici hanno lavorato, da cui dipende la validità della verità di un enunciato: la semantica. Di fatto Il Paradosso del mentitore, definito inizialmente come paradosso semantico ha permesso di comprendere il perché compaiono tali problemi specialmente nel linguaggio naturale. Tarski e altri hanno incolpato il linguaggio naturale e nello specifico il fatto che esso sia semanticamente chiuso. In maniera intuitiva significa che lingue naturali come l'italiano, l'inglese o il francese sono lingue sufficientemente potenti da poter parlare anche della propria semantica e cioè dei significaqti delle espressioni degli stessi linguaggi. A detta del filosofo americano Richard Kirkham (1955) "un linguaggio semanticamente chiuso è uno che contiene predicati semantici come "vero", "falso" e "soddisfa" che possono essere applicati ad enunciati dello stesso linguaggio"[4]. Qundi i paradossi autoreferenziali possono insorgere quando vi è una confusione tra linguaggio oggetto e metalinguaggio. Uno sforzo in tale direzione è la soluzione di Tarski al paradosso, precedentemente suggerita. La logica ha imparato bene la lezione e fa una netta distinzione tra il linguaggio oggetto e quello utilizzato per parlare, per la precisione di stabilirne verità o falsità, che è il metalinguaggio. In tal maniera si ingenera una gerarchia di linguaggi ogni uno capace di dire qualcosa di semantico su linguaggio sottostante ma non viceversa. In definitiva secondo Tarski la nozione di verità per un linguaggio non deve essere esprimibile o definibile entro quello stesso linguaggio (Tarski esprime questo con un celebre teorema). Utilizzando una immagine dello studioso scienziato cognitivista Douglas Hofstadter (1945), avvolte un sistema formale può essere sufficientemente potente che può ripiegarsi su se stesso e tentare di dire cose che lo mettono in seria difficoltà come se direzioniamo una cinepresa verso lo schermo a cui è connessa: si ingenera un loop infinito che manda l'intero sistema in tilt [5]. Ora termino qui, ma vi assicuro che il ragionamento sui paradossi e sulle loro stravaganti conseguenze è appena iniziato.

 


[1] Berto F., Tutti pazzi per Godel!, La Terza, Roma 2008.

[2] Kosko B., Il fuzzy pensiero, Balai e Castroldi, Milano 2010, Tit. Or. "Fuzzy Thinging: The New Science of Fuzzy Logic" Hyperion, 1993.

[3] Gödel:K. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), pp. 173-198. Translated in van Heijenoort: From Frege to Gödel. Harvard University Press, 1971

[4] Kirkham, Richard L. Theories of Truth: A Critical Introduction. Cambridge, MA: The MIT Press, 1992, cit. in Berto 2008.

[5] Hofstadter D., Anelli nell'Io, Mondadori, 2007

Hanno detto..

Rss

Ciao!

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