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La Conoscenza è come una linea, dove sono i confini non ci è dato di saperlo.

Sublimina.it è un viaggio personale nel mondo del pensiero umano. Per raggiungere ogni meta c'è una via ed ogni via ha un ingresso. Questa è la mia porta personale, l'ho appena aperta. Ognuno ha la sua porta, qualche volta si ha bisogno, però, di intravedere cosa c'è al di là della porta altrui per mirare l'altrove che sta dietro la propria.  Ispirato da: Franz Kafka, Il processo (1925)


Come nasce il Caos: l'equazione logistica (con codice Matlab modificabile)

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Caos è il nome che indica un peculiare pre-oggetto del mondo nella sua totalità e del signoreggiare cosmico.

Martin Heidegger

diagramma biforcazioni della mappa logistica

Alcuni scienziati e studiosi, sono oggi d'accordo sul fatto che vi sia una matrice sostanzialmente unica che possa spiegare i fenomeni della realtà prossima alla vita dell'uomo, e non solo, e individuano tale matrice con le scienze della complessità.  Attualmente si riscontrano riferimenti alla complessità in un vasto insieme di campi differenti come la Logica, la Matematica, la Fisica, la Scienza dell'Informazione, la Biologia, l'Economia, le Scienze Sociali, la Chimica, la Linguistica, la Filosofia, la Psicologia, e le Teorie dei sistemi. La Teoria del Caos è una importante espressione per studiare fenomeni afferenti alla Teoria della Complessità, ma non è la Teoria della Complessità. Diamo, adesso, una definizione di complessità per poi addentrarci nella Teoria del Caos attraverso lo studio di una semplice relazione matematica non lineare.

Possiamo definire l'approccio alla complessità come:

"lo studio interdisciplinare dei sistemi complessi adattativi e dei fenomeni emergenti ad essi associati. Un sistema può essere visto come complesso, parlando in modo un po' approssimativo, se si tratta di un sistema costituito da un gran numero di parti semplici che sono in grado reciprocamente di scambiarsi stimoli e di interagire sia reciprocamente sia con l'ambiente che contiene il sistema stesso. Quando un sistema complesso in conseguenza di queste interazioni arriva ad avere le proprietà di adattare autonomamente (cioè senza l'effetto di una forza esogena) la propria struttura interna, si dice adattivo" [1].

Spiegare cosa sia il caos, può risultare complicato, anche se esistono molte definizioni che ne permettono una soddisfacente comprensione. Fortunatamente al momento in cui scrivo (2011), tutti, o quasi, abbiamo la disponibilità di un calcolatore e la possibilità, con qualche sforzo, di simulare il caos, di sperimentarlo personalmente. Questo breve scritto intende introdurre una relazione matematica capace di penetrare lo schema che soggiace a ciò che gli studiosi identificano come "comparsa del caos". Prima però andiamo a vedere come un tale concetto sia nato e perché.

Cristoforo Sergio Bertugia e Francisco Vaio, in un illuminante saggio: Complessità e Modelli, riportano come pionieri nella scoperta e nello studio di fenomeni caotici, per quanto riguarda applicazioni pratiche, gli ingegneri olandesi Balthazar van der Pol e Jan van der Mark, studiando il comportamento elettrico di un circuito contenete una valvola termoionica, utilizzato per amplificazione di segnale, nel 1927. Essi nello specifico scoprirono, utilizzando un componente elettronico che possiede una relazione tensione-corrente non lineare, il fenomeno del "raddoppiamento di periodo", considerato oggi come uno dei possibili modi per stabilire se il sistema si comporta in modo caotico o no. Essi nelle misure elettriche compiute sul circuito scoprirono dei comportamenti non lineari, cioè sotto certe condizioni elettriche di alimentazione il circuito evolveva secondo dinamiche deterministiche instabili fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali. Dovettero passare decenni, però, per vedere comparire il concetto di Caos nelle scienze. Ad onor del vero, eminenti matematici e fisici, come Poincaré a cavallo dell'inizio del secolo scorso, si erano accorti di un qualcosa di strano studiando il sistemi dinamici attraverso le metodologie matematiche note al tempo. Probabilmente, se le scoperte nel campo della fisica quantistica non sarebbero avvenute assorbendo gran parte degli sforzi dei matematici, la formalizzazione di una matematica del caos sarebbe avvenuta molto prima. Intorno ai primi decenni dello scorso secolo, problemi relativi alle equazioni della dinamica potevano sembrare legati alla vecchia concezione della fisica classica, che all'epoca, sembrava aver esaurito argomenti che potessero eccitare gli scienziati. Bisogna attendere la fine degli anni Sessanta del Novecento per avere un concetto matematico di caos veramente utile nelle scienze empiriche, e ciò è grazie al matematico americano Sephen Smale, con le mappe a ferro di cavallo, ovvero rappresentazioni di trasformazioni matematiche che permettono di osservare semplici dinamiche caotiche. L'interesse per il caos, in realtà, tornò qualche anno prima, dopo l'affievolirsi degli entusiasmi quantistici, grazie ad un illuminante scienziato, Edward Norton Lorenz, che ne saggiò la reale esistenza studiando dei "semplici" modelli metereologici. Questi modelli erano basati su equazioni differenziali del primo ordine in tre variabili di stato. Lorenz fin da ragazzo fu appassionato di metereologia, e fu tra i primi a pensare di utilizzare un calcolatore per fornire previsioni. Negli anni Cianquanta, i calcolatori non erano quelli di adesso, erano molto lenti ingombranti ed estremamente difficili da utilizzare, tanto che alcuni scienziati diffidavano dall'uso di queste "macchine infernali". In realtà Lorenz comprese che un calcolatore era ciò che serviva per mettere in pratica le ormai note e pedissequamente utilizzate leggi deterministiche di Newton. Queste leggi permettevano di descrivere l'essenza dell'universo come un meccanismo ad orologeria, governato da leggi della meccanica che dato dei valori iniziali permettevano di predirne, senza particolari problemi, lo stato futuro. In definitiva Lorenz utilizzò un rudimentale computer (un Royal McBee), per verificare i suoi modelli climatici, che all'epoca in output riusciva al massimo a scrivere lunghe serie di numeri su un nastro di carta come una telescrivente.  Egli era solito impostare le equazioni e lasciare la macchina a calcolare gli andamenti. Un giorno decise di ripetere la serie di calcoli già elaborata precedentemente, inserendo come dato iniziale un valore, nel centro della serie, prelevato dalla simulazione precedente. Egli si accorse prima con fastidio, ma poi con stupore, che l’andamento che calcolava la macchina, man mano che le iterazioni aumentavano , era sempre meno simile a quello precedente fino a diventare completamente differente. Egli in un primo momento pensò ad un errore dovuto alle soventi rotture delle fragili valvole del suo computer, ma poi si accorse che in realtà quest’ultimo funzionava regolarmente e la causa di questo strano andamento era da ricercarsi altrove.

Lorenz in realtà era in procinto di scoprire una delle caratteristiche principali di un sistema caotico.

Egli capì che il problema stava nelle approssimazione effettuata quando inserì il dato iniziale nella seconda simulazione. Il suo computer aveva celle di memoria che potevano contenere numeri macchina con precisione a 6 decimali, mentre per comodità Lorenz faceva stampare numeri con tre decimali. Il numero inserito era un decimale troncato, una sorta di brutale approssimazione che in una concezione Newtoniana, dove piccole approssimazioni non causano problemi, non avrebbe dato nessun fastidio. E Lorenz proveniva da tale concezione. Il suo modello invece si rivelò, nel predire i risultati futuri, molto sensibile a piccole variazioni nelle condizioni iniziali, e comprese che il suo modello climatico, se non utile per fare previsioni reali, era estremamente adatto per mostrare come previsioni a lungo termine, anche dopo la settimana non hanno alcun senso [2].

In definitiva Lorenz fu quello che coniò il termine “effetto farfalla”, inserito nel titolo di un suo intervento ad un convegno in America nel 1979: “Predictability: Does the flap of Butterfly Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?”. Una delle caratteristiche che permettono, quindi, il riconoscimento del caos in un sistema è l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali.

Lorenz lavorò a lungo sui sistemi climatici, ma una volta scoperto il caos, si dedicò al suo studio matematico tentando di inventare modelli semplici che ne conservassero le caratteristiche. In realtà egli comprese che i suoi strani andamenti nei grafici non erano mera casualità, ma avevano una ben precisa struttura geometrica. Inoltre si accorse che tali fenomeni si verificavano in molti ambiti della fisica, come ad esempio nella fluidodinamica, dove le equazioni pur presentando delle non linearità, venivano sfrondate per ottenere soluzioni analitiche semplici. Si accorse che la caratteristica principale dei sistemi caotici era proprio la non linearità, che forniva risultati con una periodicità alquanto strana, o addirittura senza alcuna periodicità. Da quegli anni fino ai giorni nostri, i metodi degli scienziati del caos hanno risolto molte questioni nei più disparati ambiti della scienza, dall’astronomia alla biologia.

Il modello che in questo articolo si vuole presentare, deriva proprio dalla biologia. Negli anni seguenti le scoperte di Lorenz vi fu una divisione tra fisici matematici e i nuovi biologi. I primi tentavano di tralasciare soluzioni caotiche per fornire risultati chiari e predicibili, gli ultimi, si resero conto che per spiegare i dati che avevano sotto gli occhi avevano bisogno di un tipo differente di matematica, proprio quella che alcuni fisici tendevano a scartare. Nacque, in seguito agli eventi su riportati, ed in generale grazie alla diffusione dei calcolatori la Biologia Computazionale, i cui metodi potevano spiegare molti dei fenomeni che si verificavano in ecosistemi popolati da individui in competizione (o in cooperazione).

Cosa succede se mettiamo mille pesci in uno stagno? Come interagiscono gli individui date particolari disponibilità di cibo?

La biologia delle popolazioni aveva bisogno di nuovi paradigmi, e le equazioni differenziali continue per natura erano o troppo complicate, quindi irrisolvibili, o troppo semplici quindi con risultati banali. A queste si sostituirono equazioni discrete, note talvolta come equazioni alle differenze, risolte in maniera ricorsiva. Esse possono essere usate per modellizzare sistemi che evolvono in stati in maniera discontinua. Un esempio semplice può essere quello di voler calcolare il numero di individui negli anni successivi, partendo da un dato anno, dove la dipendenza dell’anno attuale deriva solamente dal numero di individui dell’anno precedente. Se xn è il numero di individui al tempo n allora, il numero al tempo n+1 è dato da una relazione funzionale

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»

La soluzione ricorsiva consiste nell’inserire il valore appena calcolato nella funzione e grafitarlo, poi inserendo il prossimo valore e così via. Questo non è altro che l’implementazione di un anello di retroazione dove l’uscita al passo attuale è l’ingresso al passo futuro.

La teoria dei sistemi dinamici conosce bene gli anelli di retroazione e sa che possono generare a seconda delle funzioni scelte risultati altamente instabili.

La più semplice delle relazioni è quella lineare dove lo stato futuro è calcolato partendo da una relazione di semplice proporzionalità con lo stato attuale. Un esempio è:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math»

dove k è una costante di proporzionalità arbitraria. Nella dinamica delle popolazioni questo è il modello maltusiano lineare di crescita di una popolazione, con cibo infinito e senza alcun freno riproduttivo.

Secondo questo moldello, la popolazione è destinata alla crescita perpetua, ed è semplice comprendere che i modelli reali non si comportano in questa maniera. Vi sono fenomeni differenti che possono modificare la dinamica della popolazione, facendola anche decrescere, dopo un certo tempo. La causa potrebbe essere, la scarsità di cibo, le malattie, la diminuzione della fertilità e molto altro. La funzione che si vorrebbe è quella che fa crescere la popolazione fino ad un determinato modello per poi assestarsi, ammesse anche oscillazioni iniziali, ad un determinato valore di equilibrio.

Studiamo,  a questo punto, una ridefinizione non lineare del modello malthusiano introducendo una semplice non linearità.


«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»=«/mo»«mi»r«/mi»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/math»

Questa funzione mostra una relazione quadratica se effettuiamo le moltiplicazioni, ma scritta in questa maniera permette una facile interpretazione. Il parametro r è un tasso opportuno di incremento, mentre il termine «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/math» limita la crescita, poiché all’aumentare di «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«/math», «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»)«/mo»«/math» diminuisce. Nel prosieguo di questo articolo si tenterà di studiare questa relazione, nota anche col nome di Equazione Logistica.

Questa equazione fu studiata a lungo dal biologo Robert May, professore della Princeton University. Prima di lui, i biologi si fermavano a soluzioni semplici, scartando quelle che mostravano risultati apparentemente sballati, talvolta ritenendo di essere incappati in errori al calcolatore. Invece si comprese che al variare del parametro r, il comportamento dell’equazione è molto differente: per valori bassi l’andamento si assestava ad uno stato stazionario, mentre per valori più alti si ottenevano comportamenti strani, con oscillazioni periodiche, per valori estremamente alti esso era imprevedibile. Inizialmente sembravano degne di nota solo le soluzione fornite da valori bassi della costante r.

May intendeva utilizzare gli stessi metodi di Lorenz nel graficare gli andamenti, grafici che tentano di cogliere il comportamento del sistema come un tutto. Egli fece variare con precisione il parametro e si accorse di valori critici al di la dei quali il comportamento diventava prima oscillante e poi caotico.

Per il valori di r fino a  2,7 il comportamento era regolare ed il valore nullo in uscita forniva l’indicazione che la popolazione era destinata ad estinguersi, per valori compresi tra 2,7 e 3 la popolazione tendeva a crescere lievemente, mentre per il valore 3 il grafico si biforcava. Il sistema iniziava ad oscillare tra due valori stabili. In altri termini il numero di individui della popolazione oscillava tra due valori in anni alterni. Aumentando lievemente il parametro ogni biforcazione dava luogo ad un’alta biforcazione: un alternarsi di 4 valori ogni 4 epoche (anni). Continuando ad aumentare tale valore si riscontava un raddoppiare delle biforcazioni: 2, 4, 8, 16, 32…ma ad un certo punto (“punto di accumulazione”) sembrava comparire il caos, i punti oscillavano come il rumore in uno schermo di un televisore non sintonizzato, ma di colpo sembravano comparire nuovamente biforcazioni. May stava scoprendo che vi erano isole di regolarità in un mare di caos. L’Equazione Logistica permette di avvicinarsi e toccare con mano il concetto di caos, poiché l’aumentare del parametro ci conduce, partendo da un universo ordinato e regolare, ad un universo altamente caotico, facendoci saggiare cosa c’è nel mezzo, permettendoci di osservare la comparsa del caos.

In questa parte finale dell’articolo inserisco alcune semplici linee di codice, per il linguaggio di programmazione matematico-scientifica Matlab, che permettono di ottenere le stesse esperienze raccontate sopra. I parametri sono modificabili ed un semplice “run” mostra i grafici appena descritti. Il codice si divide in due parti:

-          una prima parte dove si mantiene il parametro r costante, e tramite un ciclo for si calcolano i valori della popolazioni per le varie epoche i, partendo da una data condizione iniziale X. Si sono graficate separatamente le iterazioni pari e le iterazioni dispari.

-          una seconda parte dove si tiene costante il valore di X e si fa variare il parametro r.


La prima parte di codice permette di avere esperienza dei valori alternanti X della popolazione, a seconda del valore di r scelto.

La seconda parte permette invece di printare il classico grafico, trovato da May dove compaiono le biforcazioni e riportato nella parte superiore del presente articolo.


Codice modificabile da inserire nell’editor di Matlab:


%prova funzione: MAPPA LOGISTICA, -- CAOS DETERMINISTICO versione 1.0 clc; clear;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%condizioni iniziali
X=0.1;
r=3.55
 
x=zeros(1,100);
 
for i=1:length(x)
X=r*X*(1-X);
x(i)=X;
end
 
figure(1);
plot(x,'*')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%al variare del parametro R calcolo le possibili condizioni iniziali
 
R=0.01:0.01:4;
X=0.9;
 
for i=1:length(R)
X=R(i)*X*(1-X);
y(i)=X;
end
 
figure(2);
plot(R,y,'*')
title('raddoppiamenti di periodo della mappa logistica');
xlabel('r');
ylabel('x');
 
%plot delle iterazioni pari
z=x;
figure(3);
for i=1:length(z)
if mod(i,2)==1; %verifico per gli indici pari
z(i)=0;
end
end
 
plot(z,'+')
title('dinamica popolazione-iterazioni pari');
xlabel('iterazioni n');
ylabel('xn');
 
m=x;
figure(4);
for i=1:length(m)
if mod(i,2)==0; %verifico per gli indici dispari
m(i)=0;
end
end
 
plot(m,'+')
title('dinamica popolazione-iterazioni dispari');
xlabel('iterazioni n');
ylabel('xn');
disp('Joomla Geshi Matlab Code integration by Augusto Angeletti Latini');



[1] C. S. Bartugia, F. Vaio, Complessità e Modelli, 2010, Bollati Boringhieri

[2] J. Gleick, CAOS, La nascita di una nuova scienza, 1989 RCS Rizzoli, Milano

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