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La Conoscenza è come una linea, dove sono i confini non ci è dato di saperlo.

Sublimina.it è un viaggio personale nel mondo del pensiero umano. Per raggiungere ogni meta c'è una via ed ogni via ha un ingresso. Questa è la mia porta personale, l'ho appena aperta. Ognuno ha la sua porta, qualche volta si ha bisogno, però, di intravedere cosa c'è al di là della porta altrui per mirare l'altrove che sta dietro la propria.  Ispirato da: Franz Kafka, Il processo (1925)


Confronto tra il volume di una ipersfera e il volume di un ipercubo

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Oggi, andremo ad analizzare un problema apparentemente banale: il confronto tra il volume di una ipersfera di raggio unitario e dell' ipercubo che la circoscrive di lato pari al diametro dell' ipersfera, al crescere della dimenzione dello spazio che li accoglie.

Come vedremo questo problema ritorna nei problemi di Pattern Recognition e Data Science.

In generale, poniamo come il raggio dell'ipersfera e come 2* il lato dell'ipercubo. Detta la variabile che descrive la dimensione dello spazio, con un pizzico di astrazione possiamo affermare che: un quadrato è un ipercubo di dimensione =2 e la circonferenza inscritta è una ipersfera di dimensione medesima.

Quadrato_circoscritto_circonferenza

Figura 1


Definiamo adesso   il luogo dei punti tale che la norma dell ennupla -dimensionale    è minore del raggio al quadrato. Definiamo invece come  il luogo dei punti che descrive l'ipercubo in  dimensioni.

Se calcoliamo i due volumi come funzione della dimensione vediamo un comportamento a tutta prima strano anche se effettivamente intuitivo: come mostra il grafico in basso (Figura 2) che confronta il volume di una ipersfera e il volume di un ipercubo, quest'ultimo diverge verso l'infinito positivo, mentre il primo (volume ipersfera) ha un massimo per =5 dimensioni (5.264) e poi diminuisce fino a tendere al valore 0.

Il volume dell'ipercubo può essere scritto come:


mentre il volume dell'ipersfera risulta pari a:

,

dove  è la funzione gamma definita come:

.

Hypersphere volume

Fugura 2

Per comprendere quato comportamento basta osservare la Figura 1. Il volume dell'ipercubo cresce esponenzialmente con il crescere della dimensione dello spazio. Se consideriamo l'area un "volume", la circonferenza inscritta nel quadrato ha una superficie minore in quanto la loro differenza consiste proprio nelle parti colorate in rosso. Aumentando il numero di dimensioni le parti in rosso aumentano fino ad occupare la maggior parte del volume, mentre il volume dell'ipersfera tende a concentrarsi verso il centro e a diventare nullo.

Tutto molto interessante fin qui. Che implicazioni può avere tutto questo?

Consideriamo le tecniche di Data Science dove i dati descritti da caratteristiche multiple (features) sono rapperesentati come oggetti che giacciono in uno spazio multidimensionale. Immaginiamo ora di generare attraverso un generatore pseudocasuale una serie di oggetti all'interno della nostra ipersfera. Aumentando le dimensioni la probabilità di generare un oggetto (punto descritto da tante coordinate quante sono le dimensioni) all'interno della ipersfera diventa nulla, mentre aumenta la probabiltà che il nostro oggetto cada nella zona "differenza" tra i due volumi (la parte rossa). Questo fenomeno è noto nella disciplina del Pattern Recognition e in generale del Machine Learning come "course of dimensionality" (corsa della dimensionalità).

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