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La Conoscenza è come una linea, dove sono i confini non ci è dato di saperlo.

Sublimina.it è un viaggio personale nel mondo del pensiero umano. Per raggiungere ogni meta c'è una via ed ogni via ha un ingresso. Questa è la mia porta personale, l'ho appena aperta. Ognuno ha la sua porta, qualche volta si ha bisogno, però, di intravedere cosa c'è al di là della porta altrui per mirare l'altrove che sta dietro la propria.  Ispirato da: Franz Kafka, Il processo (1925)


Il Rumore Bianco

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V'infastidiscono il rumore, il movimento? La nostra epoca vi fa star male? Provate

a diventare rumore,movimento, e tutto, attorno a voi, apparirà calmo.

Paul Morand, Il viaggio, 1927


In questo articolo tratteremo brevemente la caratterizzazione del rumore bianco cosiddetto gaussiano, in quanto identificabile con un processo aleatorio gaussiano.

Esempio di rumore bianco visivi e auditivo (approssimato)


old_TV


Il termine rumore (ingl. noise) solitamente è associato a disturbo o ad interferenza, ma esso ha caratteristiche peculiari rispetto a quest'ultimi che lo rendono molto differente. Mentre una interferenza può avere una natura deterministica, il rumore possiede genuine caratteristiche aleatorie e per questo viene studiato attraverso la Teoria dei Processi Aleatori. Ne esistono di differenti tipologie (rumore elettronico, rumore ottico, acustico etc.). Un esempio di rumore è quello che è visibile su un ormai obsoleto televisore analogico, quando non è sintonizzato su alcun canale in trasmissione. Il brulichio nevoso sullo schermo è rumore elettronico, se non vi sono presenti altre interferenze. Allo stesso modo una radio non sintonizzata emette un fruscio, anch'esso definibile come rumore. Esso solitamente è studiato come un processo aleatorio che si sovrappone (leggi somma) ad un segnale che trasporta informazione.

Partiamo, nella descrizione delle caratteristiche di un processo gaussiano bianco n (t) realizzabile solo in linea teorica[1] essendo caratterizzato da una densità spettrale di potenza costante in tutto l'asse delle frequenze, definita come [1]:


n (t) è definito propriamente come: "la realizzazione di un processo gaussiano bianco ergodigo, a valor medio nullo e spettro di densità di potenza bianca, cioè costante". Il termine "bianco" deriva dal fatto che la luce bianca è costituita da una presenza di componenti a tutte le lunghezze d'onda, con egual energia. In altre parole essa è una radiazione elettromagnetica con spettro di densità di potenza uniforme.

Il termine N0 equivale ad una costante. Se si considera che il rumore sia prodotto dall'agitazione termica degli elettroni in un resistore ideale con resistenza R a temperatura T allora: N0 = 2RKT e prende il nome di spettro di densità di potenza bilatero [1], dove K è la costante di Boltzman (1.38x10-23 [(Watt/Hz/°K)]) .

Spettro di Densità di Potenza Rumore Bianco a banda infinita


Definiamo adesso la correlazione di un processo aleatorio come momento misto dei ordine (i,j) con i=j=1; il momento misto è definito come:

,

La correlazione vale quindi:


ed è calcolata tra due istanti t1,t2.

Ricordiamo che la covarianza è definita come momento misto centrato , la cui espressione è:

Notiamo che se una delle grandezze è a media nulla covarianza e correlazione coincidono.

Per calcolare la correlazione di un processo bianco siffatto a banda infinita utilizziamo il Teorema di Wiener che recita:

Lo spettro di densità di potenza Px(f) (o di energia εx(f) di x(f) è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione.

Quindi invertendo il teorema si ha che:  dove con  si è indicata l'antitrasformata di fourier.

Ora consideriamo lo stesso processo limitato in banda con banda a frequenze positive pari a W.

Esso può essere scritto, utilizzando la notazione ingegneristica rect(), come:


.

La funzione di autocorrelazione  è pari a:


dove .

Spettro di Densità di Potenza Rumore Bianco limitato nella banda a frequenze positive W


Ora, ricordando che una variabile aleatoria (v.a.) estratta ad un qualsiasi tempo t ha densità di probabilità gaussiana a media nulla e varianza , possiamo ricavare il legame tra quest'ultima e la potenza del processo. Si ha infatti che [3]:


.

Quest'ultima espressione mostra, come detto, il legame tra varianza della v. a. estratta in un dato istante, la cui densità per ipotesi di ergodicità e stazionarietà, è uguale a qualsiasi altro istante di estrazione. Inoltre tale varianza coincide con la potenza del processo che è calcolabile come l'area sottesa dallo spettro di densità di potenza del processo stesso. Ora si può dimostrare che per un processo a banda infinita, quindi con W→∞ l'autocorrelazione tende ad un impulso di Dirac centrato in zero di area pari a N0/2. Quindi la potenza, nel caso non limitato in banda è un valore non finito. In formule si ha:

.

A questo punto possiamo fare alcune considerazioni importanti riguardo al rumore gaussiano bianco.

La funzione di autocorrelazione, nel caso limitato alla banda W,  mostra che la potenza è finta, in quanto se valutata in t=0 sinc(0)=1. Inoltre è noto che la funzione di correlazione misura il grado di similarità tra due campioni prelevati ad una certa distanza (di fatto nelle formule abbiamo usato t al posto di τ, spesso utilizzato per indicare un intervallo). Quindi se campioniamo il rumore n(t) con un periodo Tc=1/2W troviamo campioni incorrelati in quanto l'autocorrelazione Rx(1/2W)=0. Inoltre essendo il processo gaussiano essi sono anche indipendenti.

Autocorrelazione Rumore Bianco a banda limitata W


Quindi un processo limitato in banda ha campioni correlati (tranne quelli prelevati con Tc=1/2W ). Questo fatto può essere visto considerando l'operatore di convoluzione come una "funzione memoria" e considerando un processo limitato in banda (gaussiano e a banda infinita) come un processo che transiti in un filtro passabasso ideale con  la cui risposta impulsiva (computando l'antitrasformata di Fourier) è pari ad . E' proprio la memoria introdotta da quest'ultima sul segnale in transito poiché per la convoluzione i valori di uscita sono una combinazione lineare dei valori di ingresso.

A questo punto è possibile mostrare come tramite un filtro con opportuna funzione di trasferimento possa "colorare" il rumore o, detto in termini più precisi, modificare lo spettro di densità di potenza. Per mostrare ciò bisogna introdurre brevemente la teoria del filtraggio di un processo.

[....coming soon...]


Intanto potrebbe interessare uno studio tramite codice Matlab del rumore bianco, tema che ho affrontato qui.




[1]

G. Scarano, Segnali,processi aleatori e stima, I ed., Università La sapienza di Roma, Ed. Roma, Italy, 2009.

[2]

P. Mandarini, Elementi di trasmissione delle Informazioni, I ed., Ingegneria 2000, Ed. Roma, Italy, 2004.

[3]

A. Falaschi, Trasmissione dei Segnali e Sistemi di Telecomunicazione, 11th ed., ilmiolibo.it, Ed. Rome, 2012.





[1] In realtà se il rumore è generato da una serie di campioni pseudorandom, generati al computer esso di fatto non è bianco, inoltre le limitazioni hardware ne limitano ulteriormente la banda, così da "colorarlo", in alcune porzioni dello spettro.


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