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La tecnologia non è la conoscenza profonda della natura ma la relazione fra la natura e l'uomo.

Walter Bejamin

L'àncora di salvezza, rispetto all noia del pensiero, talvolta risulta essere la rianimazione, seppur virtuale, dei vecchi pensatori che hanno intessuto una ragnatela di concetti, alcuni dei quali ancora oggi inattaccabili ed attualissimi. Cartesio diceva che l’universo è creato nella nostra mente poiché proviene da una analisi condotta attraverso un metodo che, inesorabilmente, pone un marchio indelebile sul prodotto della ragione. Immanuel Kant, imponente filosofo, risponde dal lontano Millesettecento avvalorando in parte la tesi Cartesiana, migliorandone la base di partenza del discorso e gettando, come vedremo, basi solide alla propria filosofia. Il suo sistema filosofico, in materia scientifica, è esposto nella Critica della Ragion Pura.

Quest’opera è divisa in tre parti: estetica, analitica e dialettica trascendentale.

L’estetica ricerca e determina le forme a priori della sensibilità, l’analitica studia le forme a priori del giudizio, mentre la dialettica tratta le forme a priori della ragione. Egli tramite questa tripartizioni ricerca le forme trascendentali del pensiero e della sensibilità ovvero supeiori alla pura esperienza sensibile. Kant espone tesi interessanti sullo spazio e sul tempo sostenendo che sono le forme a priori della sensibilità, difatti non appartengono alle cose, non esistono fuori da noi, ma sono soggettive e rendono possibile la conoscenza soggettiva delle cose stesse. Soggettive perché sono una categoria universale e necessaria ed attraverso questa è possibile la conoscenza matematica anch’essa universale e necessaria. La materia sensibile senza spazio e tempo sarebbe cieca, altresì la forma senza materia sarebbe vuota.

Kant poi, definisce le categorie come le forme a priori della conoscenza intellettiva attraverso le quali è possibile stabilire rapporti tra le intuizioni sensibili potendo così formulare i giudizi. Come possiamo notare le idee erano ben chiare anche se dobbiamo aspettare due secoli per essere d’accordo che la cosa in sé, se esistente, non può altro che essere indagata attraverso dei giudizi, quindi inesorabilmente vista attraverso lenti che la deformano, pertanto non ne potrà mai essere svelata la Vera natura. In merito alle categorie egli sostiene che stanno in rapporto con le rappresentazioni come lo spazio ed il tempo stanno con la materia sensibile. Esse sono salve dalla critica humaniana poichè essendo universali rendono possibile la scienza, permettendo giudizi sinteici a priori. Se ci si limitasse solo ai giudizi analitici non si aggiungerebbe nessun contenuto informativo al processo cognitivo. Sicché i giudizi sintetici sono imposti alla realtà ed allora siamo ad un grado superiore della semplice esperienza di essa. Kant aveva intravisto l’agire nascosto della matematica quando ad esempio viene applicata per il progetto di qualsiasi cosa. Essa opera attraverso la linearizzazione dei fenomeni semplificando qualsiasi tipologia di calcolo. Un celebre epigono di J. Piaget (1896 - 1960) dice che l’uomo nel costruire il mondo ha costruito se stesso [1]. L’uomo del resto ha sempre agito in tal maniera anche quando uno strumento di indagine come matematica come noi conosciamo non era stato codificato: intorno a sé ha creato il suo abitat, ha linearizzato l’ambiente, un esempio, può essere l’evoluzione delle abitazioni e delle città. Un tempo le prime erano irregolari e costituite da materie prime quali legno e foglie, sono oggi diventate estremamente geometriche e vengono edificate con materiali finemente lavorati. Sforzandomi ho cercato di calarmi nella preistoria provando a dimenticare qualsiasi “strumento di linearizzazione”, frutto dell’intelligenza evolutiva umana; l’immagine pervenuta alla mia mente era un ambiente caotico dove nulla era veramente ordinato, come se ci si dovesse muovere a scatti poiché non si aveva sicurezza di nulla, tranne di quelle pochissime cose quali erano la caverna e le pelli per coprirsi dal freddo. Man mano che l’uomo preistorico ha imparato a linearizzare, cioè a progettare e costruire utensili a circondarsi delle comodità ha acquisito sicurezza ed ha creato la sua realtà simbolica, il suo angolo di universo dove si rifugia, la sua civiltà nella quale si riconosce. L’odierna tecnologia, a tutti i livelli cioè da quella digitale a quella farmacologica, è la massima espressione della creazione di una realtà che accetta l’uomo e ne preserva l’esistenza, almeno nel breve termine. Il filosofo Umberto Galimberti nel suo pensiero riconosce nell' "azione" un carattere sostratico, precedente addirittura al "soggetto" che la compie, e  concetra la differenza tra animale  e essere umano proprio per la peculiarità dell'agire di quest'ultimo, contrapposta alla "passività" del primo. In un celebre saggio egli ci suggerisce che:

Quando un'azione approda nel mondo (Welt) che, a differenza di ciò che è l'ambiente (Um‑welt) per l'animale, non è già organizzato in funzione della vita dell'uomo, produce, quando è azione riuscita, quelle condizioni d'esistenza che sono gli "oggetti utili a…”. La risposta positiva dell'oggetto ai bisogni dell'organi­smo è ciò che sottrae l'oggetto allo statuto indifferente della co­sa per iscriverlo nell'orizzonte del significato, creando, insieme agli oggetti divenuti "significativi", l'ambiente umano che dun­que non preesiste, come nel caso dell'animale, all'azione, ma è da questa creato [2].

Un altro esempio che sono sicuro Kant avrebbe accolto se fosse qui, è il grado di conoscenza dell’universo fisico che non aumenta se non vengono create prima nuove teorie e poi verificate o viceversa, ma se vale il viceversa, ovvero una verifica diretta che porti alla scoperta di qualche tale proprietà, allora i nostri giudizi sintetici a priori saranno utilizzati per la progettazione degli strumenti di indagine, che essendo ad alto contenuto tecnologico risultano il frutto della messa in pratica di imponenti teorie.

[1] Piaget J., La costruzione del reale nel bambino - La Nuova Italia, Firenze 1979.

[2] Galimberti U., Psiche e techne: l'uomo nell'età della tecnica, Feltrinelli editore, Milano, 1999, pag. 178

Non ci sarà maggior bisogno di discussione tra due filosofi di quanto ce ne sia tra due calcolatori .

Sarà sufficiente, infatti, che essi prendano la penna in mano, si siedano a tavolino,

e si dicano reciprocamente (chiamato, se loro piace, un amico): calcoliamo.

G. G. Leibniz, Scritti di Logica, a cura di F. Barone, Zanichelli, Bologna, 1968, p. 237

1.1 Introduzione

In questo elaborato ci addentreremo in uno specifico campo del calcolo matematico: l’aritmetica binaria. Questa branca, oltre a consentire il dimensionamento dei sistemi elettronici digitali, riesce a fornire un “vocabolario ottimale” per codificare e manipolare qualsiasi tipo di informazione. Prima di addentrarci in un discorso più teorico, ma di facile comprensione (sono utilizzate nozioni di calcolo da scuola media) bisogna inquadrare al meglio il contesto, generato da questo sistema numerico. L’utilizzo dei numeri binari ha modificato profondamente il mondo che ci circonda, ed ha semplificato enormemente la soluzione di alcuni problemi relativi alla tecnologia regalandoci l’era dell’ mp3, dell’iPod, del computer, delle fotocamere e tv digitali e... chi più ne ha più ne metta!

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Caos è il nome che indica un peculiare pre-oggetto del mondo nella sua totalità e del signoreggiare cosmico.

Martin Heidegger

Alcuni scienziati e studiosi, sono oggi d'accordo sul fatto che vi sia una matrice sostanzialmente unica che possa spiegare i fenomeni della realtà prossima alla vita dell'uomo, e non solo, e individuano tale matrice con le scienze della complessità.  Attualmente si riscontrano riferimenti alla complessità in un vasto insieme di campi differenti come la Logica, la Matematica, la Fisica, la Scienza dell'Informazione, la Biologia, l'Economia, le Scienze Sociali, la Chimica, la Linguistica, la Filosofia, la Psicologia, e le Teorie dei sistemi. La Teoria del Caos è una importante espressione per studiare fenomeni afferenti alla Teoria della Complessità, ma non è la Teoria della Complessità. Diamo, adesso, una definizione di complessità per poi addentrarci nella Teoria del Caos attraverso lo studio di una semplice relazione matematica non lineare.

Possiamo definire l'approccio alla complessità come:

"lo studio interdisciplinare dei sistemi complessi adattativi e dei fenomeni emergenti ad essi associati. Un sistema può essere visto come complesso, parlando in modo un po' approssimativo, se si tratta di un sistema costituito da un gran numero di parti semplici che sono in grado reciprocamente di scambiarsi stimoli e di interagire sia reciprocamente sia con l'ambiente che contiene il sistema stesso. Quando un sistema complesso in conseguenza di queste interazioni arriva ad avere le proprietà di adattare autonomamente (cioè senza l'effetto di una forza esogena) la propria struttura interna, si dice adattivo" [1].

Spiegare cosa sia il caos, può risultare complicato, anche se esistono molte definizioni che ne permettono una soddisfacente comprensione. Fortunatamente al momento in cui scrivo (2011), tutti, o quasi, abbiamo la disponibilità di un calcolatore e la possibilità, con qualche sforzo, di simulare il caos, di sperimentarlo personalmente. Questo breve scritto intende introdurre una relazione matematica capace di penetrare lo schema che soggiace a ciò che gli studiosi identificano come "comparsa del caos". Prima però andiamo a vedere come un tale concetto sia nato e perché.

Cristoforo Sergio Bertugia e Francisco Vaio, in un illuminante saggio: Complessità e Modelli, riportano come pionieri nella scoperta e nello studio di fenomeni caotici, per quanto riguarda applicazioni pratiche, gli ingegneri olandesi Balthazar van der Pol e Jan van der Mark, studiando il comportamento elettrico di un circuito contenete una valvola termoionica, utilizzato per amplificazione di segnale, nel 1927. Essi nello specifico scoprirono, utilizzando un componente elettronico che possiede una relazione tensione-corrente non lineare, il fenomeno del "raddoppiamento di periodo", considerato oggi come uno dei possibili modi per stabilire se il sistema si comporta in modo caotico o no. Essi nelle misure elettriche compiute sul circuito scoprirono dei comportamenti non lineari, cioè sotto certe condizioni elettriche di alimentazione il circuito evolveva secondo dinamiche deterministiche instabili fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali. Dovettero passare decenni, però, per vedere comparire il concetto di Caos nelle scienze. Ad onor del vero, eminenti matematici e fisici, come Poincaré a cavallo dell'inizio del secolo scorso, si erano accorti di un qualcosa di strano studiando il sistemi dinamici attraverso le metodologie matematiche note al tempo. Probabilmente, se le scoperte nel campo della fisica quantistica non sarebbero avvenute assorbendo gran parte degli sforzi dei matematici, la formalizzazione di una matematica del caos sarebbe avvenuta molto prima. Intorno ai primi decenni dello scorso secolo, problemi relativi alle equazioni della dinamica potevano sembrare legati alla vecchia concezione della fisica classica, che all'epoca, sembrava aver esaurito argomenti che potessero eccitare gli scienziati. Bisogna attendere la fine degli anni Sessanta del Novecento per avere un concetto matematico di caos veramente utile nelle scienze empiriche, e ciò è grazie al matematico americano Sephen Smale, con le mappe a ferro di cavallo, ovvero rappresentazioni di trasformazioni matematiche che permettono di osservare semplici dinamiche caotiche. L'interesse per il caos, in realtà, tornò qualche anno prima, dopo l'affievolirsi degli entusiasmi quantistici, grazie ad un illuminante scienziato, Edward Norton Lorenz, che ne saggiò la reale esistenza studiando dei "semplici" modelli metereologici. Questi modelli erano basati su equazioni differenziali del primo ordine in tre variabili di stato. Lorenz fin da ragazzo fu appassionato di metereologia, e fu tra i primi a pensare di utilizzare un calcolatore per fornire previsioni. Negli anni Cianquanta, i calcolatori non erano quelli di adesso, erano molto lenti ingombranti ed estremamente difficili da utilizzare, tanto che alcuni scienziati diffidavano dall'uso di queste "macchine infernali". In realtà Lorenz comprese che un calcolatore era ciò che serviva per mettere in pratica le ormai note e pedissequamente utilizzate leggi deterministiche di Newton. Queste leggi permettevano di descrivere l'essenza dell'universo come un meccanismo ad orologeria, governato da leggi della meccanica che dato dei valori iniziali permettevano di predirne, senza particolari problemi, lo stato futuro. In definitiva Lorenz utilizzò un rudimentale computer (un Royal McBee), per verificare i suoi modelli climatici, che all'epoca in output riusciva al massimo a scrivere lunghe serie di numeri su un nastro di carta come una telescrivente.  Egli era solito impostare le equazioni e lasciare la macchina a calcolare gli andamenti. Un giorno decise di ripetere la serie di calcoli già elaborata precedentemente, inserendo come dato iniziale un valore, nel centro della serie, prelevato dalla simulazione precedente. Egli si accorse prima con fastidio, ma poi con stupore, che l’andamento che calcolava la macchina, man mano che le iterazioni aumentavano , era sempre meno simile a quello precedente fino a diventare completamente differente. Egli in un primo momento pensò ad un errore dovuto alle soventi rotture delle fragili valvole del suo computer, ma poi si accorse che in realtà quest’ultimo funzionava regolarmente e la causa di questo strano andamento era da ricercarsi altrove.

Lorenz in realtà era in procinto di scoprire una delle caratteristiche principali di un sistema caotico.

Egli capì che il problema stava nelle approssimazione effettuata quando inserì il dato iniziale nella seconda simulazione. Il suo computer aveva celle di memoria che potevano contenere numeri macchina con precisione a 6 decimali, mentre per comodità Lorenz faceva stampare numeri con tre decimali. Il numero inserito era un decimale troncato, una sorta di brutale approssimazione che in una concezione Newtoniana, dove piccole approssimazioni non causano problemi, non avrebbe dato nessun fastidio. E Lorenz proveniva da tale concezione. Il suo modello invece si rivelò, nel predire i risultati futuri, molto sensibile a piccole variazioni nelle condizioni iniziali, e comprese che il suo modello climatico, se non utile per fare previsioni reali, era estremamente adatto per mostrare come previsioni a lungo termine, anche dopo la settimana non hanno alcun senso [2].

In definitiva Lorenz fu quello che coniò il termine “effetto farfalla”, inserito nel titolo di un suo intervento ad un convegno in America nel 1979: “Predictability: Does the flap of Butterfly Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?”. Una delle caratteristiche che permettono, quindi, il riconoscimento del caos in un sistema è l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali.

Lorenz lavorò a lungo sui sistemi climatici, ma una volta scoperto il caos, si dedicò al suo studio matematico tentando di inventare modelli semplici che ne conservassero le caratteristiche. In realtà egli comprese che i suoi strani andamenti nei grafici non erano mera casualità, ma avevano una ben precisa struttura geometrica. Inoltre si accorse che tali fenomeni si verificavano in molti ambiti della fisica, come ad esempio nella fluidodinamica, dove le equazioni pur presentando delle non linearità, venivano sfrondate per ottenere soluzioni analitiche semplici. Si accorse che la caratteristica principale dei sistemi caotici era proprio la non linearità, che forniva risultati con una periodicità alquanto strana, o addirittura senza alcuna periodicità. Da quegli anni fino ai giorni nostri, i metodi degli scienziati del caos hanno risolto molte questioni nei più disparati ambiti della scienza, dall’astronomia alla biologia.

Il modello che in questo articolo si vuole presentare, deriva proprio dalla biologia. Negli anni seguenti le scoperte di Lorenz vi fu una divisione tra fisici matematici e i nuovi biologi. I primi tentavano di tralasciare soluzioni caotiche per fornire risultati chiari e predicibili, gli ultimi, si resero conto che per spiegare i dati che avevano sotto gli occhi avevano bisogno di un tipo differente di matematica, proprio quella che alcuni fisici tendevano a scartare. Nacque, in seguito agli eventi su riportati, ed in generale grazie alla diffusione dei calcolatori la Biologia Computazionale, i cui metodi potevano spiegare molti dei fenomeni che si verificavano in ecosistemi popolati da individui in competizione (o in cooperazione).

Cosa succede se mettiamo mille pesci in uno stagno? Come interagiscono gli individui date particolari disponibilità di cibo?

La biologia delle popolazioni aveva bisogno di nuovi paradigmi, e le equazioni differenziali continue per natura erano o troppo complicate, quindi irrisolvibili, o troppo semplici quindi con risultati banali. A queste si sostituirono equazioni discrete, note talvolta come equazioni alle differenze, risolte in maniera ricorsiva. Esse possono essere usate per modellizzare sistemi che evolvono in stati in maniera discontinua. Un esempio semplice può essere quello di voler calcolare il numero di individui negli anni successivi, partendo da un dato anno, dove la dipendenza dell’anno attuale deriva solamente dal numero di individui dell’anno precedente. Se x_n è il numero di individui al tempo n allora, il numero al tempo n+1 è dato da una relazione funzionale

La soluzione ricorsiva consiste nell’inserire il valore appena calcolato nella funzione e grafitarlo, poi inserendo il prossimo valore e così via. Questo non è altro che l’implementazione di un anello di retroazione dove l’uscita al passo attuale è l’ingresso al passo futuro.

La teoria dei sistemi dinamici conosce bene gli anelli di retroazione e sa che possono generare a seconda delle funzioni scelte risultati altamente instabili.

La più semplice delle relazioni è quella lineare dove lo stato futuro è calcolato partendo da una relazione di semplice proporzionalità con lo stato attuale. Un esempio è:

dove k è una costante di proporzionalità arbitraria. Nella dinamica delle popolazioni questo è il modello maltusiano lineare di crescita di una popolazione, con cibo infinito e senza alcun freno riproduttivo.

Secondo questo moldello, la popolazione è destinata alla crescita perpetua, ed è semplice comprendere che i modelli reali non si comportano in questa maniera. Vi sono fenomeni differenti che possono modificare la dinamica della popolazione, facendola anche decrescere, dopo un certo tempo. La causa potrebbe essere, la scarsità di cibo, le malattie, la diminuzione della fertilità e molto altro. La funzione che si vorrebbe è quella che fa crescere la popolazione fino ad un determinato modello per poi assestarsi, ammesse anche oscillazioni iniziali, ad un determinato valore di equilibrio.

Studiamo,  a questo punto, una ridefinizione non lineare del modello malthusiano introducendo una semplice non linearità.

Questa funzione mostra una relazione quadratica se effettuiamo le moltiplicazioni, ma scritta in questa maniera permette una facile interpretazione. Il parametro r è un tasso opportuno di incremento, mentre il termine  limita la crescita, poiché all’aumentare di , diminuisce. Nel prosieguo di questo articolo si tenterà di studiare questa relazione, nota anche col nome di Equazione Logistica.

Questa equazione fu studiata a lungo dal biologo Robert May, professore della Princeton University. Prima di lui, i biologi si fermavano a soluzioni semplici, scartando quelle che mostravano risultati apparentemente sballati, talvolta ritenendo di essere incappati in errori al calcolatore. Invece si comprese che al variare del parametro r, il comportamento dell’equazione è molto differente: per valori bassi l’andamento si assestava ad uno stato stazionario, mentre per valori più alti si ottenevano comportamenti strani, con oscillazioni periodiche, per valori estremamente alti esso era imprevedibile. Inizialmente sembravano degne di nota solo le soluzione fornite da valori bassi della costante r.

May intendeva utilizzare gli stessi metodi di Lorenz nel graficare gli andamenti, grafici che tentano di cogliere il comportamento del sistema come un tutto. Egli fece variare con precisione il parametro e si accorse di valori critici al di la dei quali il comportamento diventava prima oscillante e poi caotico.

Per il valori di r fino a  2,7 il comportamento era regolare ed il valore nullo in uscita forniva l’indicazione che la popolazione era destinata ad estinguersi, per valori compresi tra 2,7 e 3 la popolazione tendeva a crescere lievemente, mentre per il valore 3 il grafico si biforcava. Il sistema iniziava ad oscillare tra due valori stabili. In altri termini il numero di individui della popolazione oscillava tra due valori in anni alterni. Aumentando lievemente il parametro ogni biforcazione dava luogo ad un’alta biforcazione: un alternarsi di 4 valori ogni 4 epoche (anni). Continuando ad aumentare tale valore si riscontava un raddoppiare delle biforcazioni: 2, 4, 8, 16, 32…ma ad un certo punto (“punto di accumulazione”) sembrava comparire il caos, i punti oscillavano come il rumore in uno schermo di un televisore non sintonizzato, ma di colpo sembravano comparire nuovamente biforcazioni. May stava scoprendo che vi erano isole di regolarità in un mare di caos. L’Equazione Logistica permette di avvicinarsi e toccare con mano il concetto di caos, poiché l’aumentare del parametro ci conduce, partendo da un universo ordinato e regolare, ad un universo altamente caotico, facendoci saggiare cosa c’è nel mezzo, permettendoci di osservare la comparsa del caos.

In questa parte finale dell’articolo inserisco alcune semplici linee di codice, per il linguaggio di programmazione matematico-scientifica Matlab, che permettono di ottenere le stesse esperienze raccontate sopra. I parametri sono modificabili ed un semplice “run” mostra i grafici appena descritti. Il codice si divide in due parti:

-          una prima parte dove si mantiene il parametro r costante, e tramite un ciclo for si calcolano i valori della popolazioni per le varie epoche i, partendo da una data condizione iniziale X. Si sono graficate separatamente le iterazioni pari e le iterazioni dispari.

-          una seconda parte dove si tiene costante il valore di X e si fa variare il parametro r.

La prima parte di codice permette di avere esperienza dei valori alternanti X della popolazione, a seconda del valore di r scelto.

La seconda parte permette invece di printare il classico grafico, trovato da May dove compaiono le biforcazioni e riportato nella parte superiore del presente articolo.

Codice modificabile da inserire nell’editor di Matlab:

Via via che la logica si perfeziona, diminuisce il numero delle cose che si possono dimostrare.

Bertrand Russell, in Alan Wood, Bertrand Russell, lo scettico appassionato, 1957

Oggi ci concentriamo sul concetto noto ai logici come "implicazione", questo viaggio sarà compiuto attraverso la potente navicella, frutto degli studi di B. Russell, datata 1903, intitolata “I principi della matematica”.

Esistono due tipologie di implicazione, talvolta ambedue indicate con una freccia. I più accorti però sono attenti a questa importante distinzione e utilizzano simboli differenti per ogni una di esse.

La prima è l’implicazione materiale indicata solitamente con: “ → ”, la seconda è l’implicazione logica indicata con: “⇒”.

Russel sostiene che l’implicazione materiale si ha quando i termini che la costituiscono, ad esempio p e q in “p → q” sono proposizioni. Questo vale se i suddetti termini sono proposizioni o vere o false “una volta per tutte”, cioè non contengono al loro interno ciò che Peano ha chiamato variabili reali. Le variabili reali a differenza di quelle apparenti, sempre secondo il Peano, si hanno quando queste non sono vincolate e sono veramente libere di variare, mentre quelle apparenti anche se compaiono in un termine non sono vere variabili, non essendo libere di variare. Un esempio può essere una proposizione contenete una variabile vincolata da un connettivo esistenziale come per ogni o esiste.

Russell nella sua opera ci dona una feconda analogia per comprendere definitivamente questa semplice distinzione. Egli ci invita a pensare ad un integrale definito, che, seppur contenendo come integranda una funzione della variabile, il risultato non viene a dipendere da quest’ultima. Ecco che asserisce allora che “x è un uomo” non è un a proposizione in quanto quest’ultima deve essere definitivamente o vera o falsa. Presa così com’è la frase non è né vera né falsa, dipendendo questi valori di verità dalla variabile x, libera di assumere qualsivoglia valore. Si è soliti definire una frase che contiene variabili libere (almeno una) comeuna funzione proposizionale.